Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （a，b∈R）在點(diǎn) （2，f（2）） 處切線的斜率為﹣ ﹣ln 2，且函數(shù)過點(diǎn)（4， ）． （Ⅰ）求a、b 的值及函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）= （k∈N*），對任意的實(shí)數(shù)x0＞1，都存在實(shí)數(shù)x1 ， x2滿足0＜x1＜x2＜x0 ， 使得f（x0）=f（x1）=f（x2），求k 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）= （a，b∈R）， ∴f（x）定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），

∵函數(shù)f（x）在點(diǎn) （2，f （2）） 處切線的斜率為﹣ ﹣ln 2，且函數(shù)過點(diǎn)（4， ）．
∴
∴ ，
∴
∴
記 ，則 ，
h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
h（x）≤h（1）=﹣1＜0
∴ 恒成立，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由題得，原問題轉(zhuǎn)化為f（x）＜g（x）在x∈（0，1）上恒成立，
f（x）＞g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即 在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，
，
∴φ（x）在（0，1），（1，k）上單調(diào)遞減，（k，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＞φ（1）=1＞0…（9分）
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ（x）≥φ（k）=lnk﹣k+2，∴l(xiāng)nk﹣k+2＞0
記Φ（k）=lnk﹣k+2，則 恒成立，
Φ（k）在k∈[1，+∞）上是減函數(shù)，
Φ（3）=ln3﹣1＞0，Φ（4）=ln4﹣2＜0，
∴k的最大值為3．
【解析】（Ⅰ）先求出f（x）定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）， ，由函數(shù)f（x）在點(diǎn) （2，f （2）） 處切線的斜率為﹣ ﹣ln 2，且函數(shù)過點(diǎn)（4， ），列出方程組求出a，b，從而 記 ，則 ，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）原問題轉(zhuǎn)化為f（x）＜g（x）在x∈（0，1）上恒成立，f（x）＞g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，從而 在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出k的最大值．