Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC與平面PBD所成的角．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由線面垂直得AC⊥PD，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由此能證明平面PAC⊥平面PBD．
（2）記AC與BD相交于O，連結(jié)PO，由已知條件得∠CPO就是PC與平面PBD所成的角，由此能求出PC與平面PBD所成的角為30°．

解答： （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，而PD與BD交于點D，
∴AC⊥平面PBD，…（4分）
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．…（6分）
（2）解：記AC與BD相交于O，連結(jié)PO，
由（1）知，AC⊥平面PBD，
∴PC在平面PBD內(nèi)的射影是PO，
∴∠CPO就是PC與平面PBD所成的角，…（10分）
∵PD=AD，
∴在Rt△PDC中，PC=

2

CD，
而在正方形ABCD中，OC=

1

2

AC=

2

2

CD，
∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°．
即PC與平面PBD所成的角為30°．…（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．