Question

10．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），當(dāng)x∈（0，$\frac{3}{2}$）時，f（x）=ln（x²-x+1），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點個數(shù)是9．

Answer 1

分析 由f（x）=ln（x²-x+1）=0，先求出當(dāng)x∈（0，$\frac{3}{2}$）時的零點個數(shù)，然后利用周期性和奇偶性判斷f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點個數(shù)即可．

解答 解：∵f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∴在[0，6]上必有f（0）=0．
當(dāng)x∈（0，$\frac{3}{2}$）時，由f（x）=ln（x²-x+1）=0得x²-x+1=1，
即x²-x=0．解得x=1．
∵f（x-3）=f（x），
∴函數(shù)是周期為3的奇函數(shù)，
∴f（0）=f（3）=f（6）=0，此時有3個零點0，3，6．
又f（1）=f（4）=f（-1）=f（2）=f（5）=0，此時有1，2，4，5四個零點．
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$-3）=f（-$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$），
∴f（$\frac{3}{2}$）=0，
即f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$+3）=f（$\frac{9}{2}$）=0，
此時有兩個零點$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$．
∴共有9個零點．分別為：0，3，6，1，2，4，5，$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$．
故答案為：9．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的判斷，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，分別判斷零點個數(shù)即可，綜合性較強(qiáng)．