Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，1），其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列．直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q、P，與橢圓分別交于點(diǎn)M、N，各點(diǎn)均不重合且滿足

PM

=λ1

MQ

，

PN

=λ2

NQ

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若λ₁+λ₂=-3，試證明：直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出b=1，（2a）²+（2b）²=2（2c）²，由此能求出橢圓的方程．
（2）由題意設(shè)P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設(shè)l方程為x=t（y-m），由已知條件推導(dǎo)出λ1=

m

y1

-1，λ2=

m

y2

-1，由此能證明直線l過定點(diǎn)并能求出此定點(diǎn)．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)（0，1），
∴b=1，設(shè)焦距為2c，（1分）
∵長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列，
∴（2a）²+（2b）²=2（2c）²，又a²=b²+c²
解得a²=3．（3分）
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．（5分）
（2）由題意設(shè)P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
設(shè)l方程為x=t（y-m），
由

PM

=λ1

MQ

，知（x₁，y₁-m）=λ₁（x₀-x₁，-y₁）
∴y₁-m=-y₁λ₁，由題意λ₁≠0，∴λ1=

m

y1

-1，（7分）
同理由

PN

=λ2

NQ

知，λ2=

m

y2

-1，
∵λ₁+λ₂=-3，∴y₁y₂+m（y₁+y₂）=0（*），（8分）
聯(lián)立

x2+3y2=3 x=t(y-m)

，得（t²+3）y²-2mt²y+t²m²-3=0，
∴需△=4m²t⁴-4（t²+3）（t²m²-3）＞0（**）
且有y1+y2=

2mt2

t2+3

，y1y2=

t2m2-3

t2+3

（***），（10分）
（***）代入（*）得t²m²-3+m•2mt²=0，∴（mt）²=1，
由題意mt＜0，∴mt=-1（滿足（**）），（12分）
得l方程為x=ty+1，過定點(diǎn)（1，0），即（1，0）為定點(diǎn)．（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．