Question

若多項(xiàng)式（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m滿足：a₁+2a₂+…+ma_m=448，則不等式

1

a3

+

2

a3

+…+

n

a3

≥

3

4

成立時(shí)，正整數(shù)n的最小值為

7

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)x=1求出的值，然后求出a₃，利用數(shù)列求和結(jié)合不等式求出n的值．

解答：解：設(shè)y=（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m，
y′=m（1+x）^m-1=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+ma_mx^m-1，
令x=1，得2^m-1m=a₁+2a₂+3a₃+…+ma_m=448=2⁶×7．
解得m=7．∴a₃=C₇³=35．

1

35

+

2

35

+…+

n

35

=

n(1+n)

70

≥

3

4

，
解得n＞6．
正整數(shù)n的最小值為：7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．