Question

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90^O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點.(1)求證:PB⊥DM;(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在點E,且PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60^o.若存在求出λ值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）建系，利用，證明PB⊥DM

（2）

（3）先假設存在，求出法向量，可以算出無解，所以不存在符合要求的解.

【解析】

試題分析：（1）如圖以A為原點建立空間直角坐標系

A（0，0，0），B（2，0，0），

C（2，1，0），D（0，2，0）

M（1，，1），N（1，0，1），

E（0，m，2-m），P（0，0，2）

（2，0，-2），（1，-，1），

="0"

（2）=（-2，1，0）平面ADMN法向量=（x,y,z），

=（0，2，0），=（1，0，1） ，

所以 ，即 ，解得=（1，0，-1），

設CD與平面ADMN所成角α，則.

（3）設平面ACN法向量=（x,y,z）,

所以，解得=（1,-2,-1），

設,所以，

同理可以求出平面AEN的法向量，

因為，所以，

所以 ，

此方程無解，所以不存在符合要求的點.

考點：本小題主要考查空間中線線垂直、線面角和二面角.

點評：解決立體幾何問題，可以建立空間向量，但是證明時也要根據(jù)相應的判定定理和性質(zhì)定理，定理中要求的條件要一一列舉出來，另外還要注意各種角的取值范圍.