Question

數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，（n≥2且n∈N^*）．
（1）求b₂，b₃及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試證明：（n≥2且n∈N^*）；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b₁=1，b_n+1=2b_n+1，分別令n=1和n=2，先求出b₂和b₃，再由b_n+1=2b_n+1，利用構(gòu)造法求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a₁=1，（n≥2且n∈N^*），變形得到，由此能夠證明：（n≥2且n∈N^*）．
（3）由（1）知：=2（），再由=1++…+，利用放縮法能夠證明．
解答：解：（1）∵b₁=1，b_n+1=2b_n+1，
∴b₂=2×1+1=3，
b₃=2×3+1=7，
∵b_n+1=2b_n+1，∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∴=2•2^n-1=2ⁿ，
∴．
（2）∵a₁=1，（n≥2且n∈N^*），
∴，
，
∴，
∴=，
∴（n≥2且n∈N^*）．
（3）由（2）知
=
=
=•a_n+1
=
=2•
=2（），
而=1++…+，
當(dāng)k≥2時(shí)，=2（），
∴
=1+2[（）+（）+…+（）
=1+2（）＜．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．