Question

（本題滿分15分）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且

（1）求直線與平面所成角的余弦值；

（2）用表示平面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求；

（3）若分別在上，并滿足，探索：當(dāng)的重心為且時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）   （2），則（3） .                   

【解析】第一問(wèn)中利用以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)為平面的法向量，又正方體的棱長(zhǎng)為1，

借助于，得到結(jié)論

第二問(wèn)中，，是平面的法向量

    ，又平面和側(cè)面所成的銳二面角為

    ，則 

第三問(wèn)中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912083843703087/SYS201207091209187807962940_DA.files/image020.png">分別在上，且

    故，

所以當(dāng)的重心為

然后利用垂直關(guān)系得到結(jié)論。

解：（1）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系

    又正方體的棱長(zhǎng)為1，

    設(shè)為平面的法向量

      令，則

   

    設(shè)直線與平面所成角為，

    直線與平面所成角的余弦值為          （5分）

    （2），是平面的法向量

    ，又平面和側(cè)面所成的銳二面角為

    ，則          （5分）

    （3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912083843703087/SYS201207091209187807962940_DA.files/image020.png">分別在上，且

    故，

所以當(dāng)的重心為，而

    ，

當(dāng)時(shí)，

    為恒等式

    所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為                     （5分）