Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=2（n∈N^*），且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列$\left\{\frac{1}{{S}_{n}}\right\}$的前n項和為T_n，證明：${T}_{n}≤\frac{3}{4}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由等比中項的性質(zhì)和條件列出方程，求出首項a₁，代入等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式化簡；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出$\frac{1}{{S}_{n}}$并化簡，利用裂項相消法求出T_n，由n的取值范圍即可證明結(jié)論成立．

解答 解：（Ⅰ）由${a}_{n+1}-{a}_{n}=2（n∈{N}^{*}）$得，數(shù)列{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列，
∵a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，∴${a}_{1}（{a}_{1}+24）=（{a}_{1}+6）^{2}$，
解得a₁=3，
則a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}•2$=n²+2n；
（Ⅱ）由（I）得，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}-\frac{1}{2（n+2）}$$≤\frac{3}{4}$
則${T}_{n}≤\frac{3}{4}$成立．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式，等比中項的性質(zhì)，以及裂項相消法求數(shù)列的和，是數(shù)列與不等式結(jié)合的題，屬于中檔題．