Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+5．
（1）是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式m+f（x）＞0對(duì)于任意x∈R恒成立，并說(shuō)明理由．
（2）若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使不等式m-f（x₀）＞0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）不等式m+f（x）＞0可化為m＞-f（x），即m＞-x²+2x-5=-（x-1）²-4．
要使m＞-（x-1）²-4對(duì)于任意x∈R恒成立，只需m＞-4即可．
故存在實(shí)數(shù)m，使不等式m+f（x）＞0對(duì)于任意x∈R恒成立，此時(shí)只需m＞-4．
（2）∵m-f（x₀）＞0，∴m＞f（x₀）．
∵f（x₀）=-2x₀+5=（x₀-1）²+4≥4．
∴m＞4．
分析：（1）不等式m+f（x）＞0可化為m＞-f（x），求出右邊的最大值，即可求得m的范圍；
（2）m-f（x₀）＞0可化為m＞f（x₀），求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．