Question

某種報(bào)紙，進(jìn)貨商當(dāng)天以每份進(jìn)價(jià)1元從報(bào)社購(gòu)進(jìn)，以每份售價(jià)2元售出．若當(dāng)天賣不完，剩余報(bào)紙報(bào)社以每份0.5元的價(jià)格回收．根據(jù)市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，得到這個(gè)季節(jié)的日銷售量X（單位：份）的頻率分布直方圖（如圖所示），將頻率視為概率．
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；
（Ⅱ）若進(jìn)貨量為n（單位：份），當(dāng)n≥X時(shí)，求利潤(rùn)Y的表達(dá)式；
（Ⅲ）若當(dāng)天進(jìn)貨量n=400，求利潤(rùn)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望E（Y）（統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知得100a+0.002×100+0.003×100+0.0035×100=1，由此能求出a．
（Ⅱ）由n≥X，得Y=（2-1）X-（n-X）0.5，由此能求出利潤(rùn)Y的表達(dá)式．
（Ⅲ）若當(dāng)天進(jìn)貨量n=400，依題意銷售量X可能值為200，300，400，對(duì)應(yīng)的Y分別為：100，250，400．由此能求出利潤(rùn)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望E（Y）．

解答： 解：（Ⅰ）由圖可得：
100a+0.002×100+0.003×100+0.0035×100=1，
解得 a=0.0015…（2分）
（Ⅱ）∵n≥X，
∴Y=（2-1）X-（n-X）0.5
=1.5X-0.5n…（7分）
（Ⅲ）若當(dāng)天進(jìn)貨量n=400，
依題意銷售量X可能值為200，300，400，
對(duì)應(yīng)的Y分別為：100，250，400．
利潤(rùn)Y的分布列為：

Y	100	250	400
P	0.20	0.35	0.45

所以，E（Y）=0.20×100+250×0.35+0.45×400=287.5（元）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率分布直方圖的應(yīng)用，考查函數(shù)表達(dá)式的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．