Question

5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，向量$\overrightarrow{m}$=（4，b²+c²-a²），$\overrightarrow{n}$=（1，S），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角A；
（2）已知k=$\frac{\sqrt{2}b-c}{a}$，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量平行的條件列出關(guān)系式，再利用三角形面積公式表示出S，利用余弦定理列出關(guān)系式，代入計(jì)算求出tanA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）已知k利用正弦定理化簡(jiǎn)，把表示出的C代入并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出k的范圍．

解答 解：（1）∵在△ABC中，△ABC的面積為S，向量$\overrightarrow{m}$=（4，b²+c²-a²），$\overrightarrow{n}$=（1，S），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴$\frac{4}{1}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{S}$，即4S=b²+c²-a²，
∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA，b²+c²-a²=2bccosA，
∴2bcsinA=2bccosA，即sinA=cosA，
∴tanA=1，
則A=45°；
（2）根據(jù)正弦定理得：k=$\frac{\sqrt{2}b-c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}sinB-sinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}sinB-sinC}{sin45°}$=2sinB-$\sqrt{2}$sinC，
∵C=180°-（A+B）=135°-B，
∴k=2sinB-$\sqrt{2}$sin（135°-B）=2sinB-$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosB-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB）=3sinB-cosB=$\sqrt{10}$sin（B-D）（其中sinD=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosD=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，tanD=$\frac{1}{3}$），
∵-1≤sin（B-D）≤1，
∴-$\sqrt{10}$≤k≤$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．