(本小題滿分12分)如圖,四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,O為AC的中點(diǎn),PO⊥平面ABCD,M 為PD的中點(diǎn),∠ADC = 45o,AD = AC = 1,PO=a

(1)證明:DA⊥平面PAC;

(2)如果二面角M?AC?D的正切值為2,求a的值.

(1)祥見解析;(2)a=2.

【解析】

試題分析:(1)由PO⊥平面ABCD,得PO⊥AD,由∠ADC=45°,AD=AC,得AD⊥AC,從而證明AD⊥平面PAC.(2)法一,先利用三垂線定理作出二面角M-AC-D的平面角:連結(jié)DO,作MG⊥DO于G,作GH⊥AO于H,因?yàn)镸是PD中點(diǎn),且MG⊥DO,所以G為DO中點(diǎn),且MG⊥平面ABCD,顯然,∠MHG即為二面角M-AC-D的平面角.然后在直角三角形MHG中,可用a表示出的正切值,從而由已知即可求出a的值;法二,以O(shè)A為x軸,OP為y軸,O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量知亦可求.

試題解析: (1)證明:由題意,∠ADC = 45o,AD = AC = 1,故∠DAC = 90o

即DA⊥AC.又因?yàn)?PO⊥平面ABCD,

所以,DA⊥PO,DA⊥平面PAC 4分

(2)法一:連結(jié)DO,作MG⊥DO于G,作GH⊥AO于H,因?yàn)镸是PD中點(diǎn),且MG⊥DO,所以G為DO中點(diǎn),且MG⊥平面ABCD,顯然,∠MHG即為二面角M-AC-D的平面角. 8分

因?yàn)镚H⊥AO,且G為DO中點(diǎn),所以,而,故,PO=2MG=2. 12分

法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則,,

設(shè)平面MAC的法向量為,,則,所以的一個(gè)取值為

10分

平面ACD的法向量為.

設(shè)二面角的平面角為,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015041306030669831911/SYS201504130603131517901689_DA/SYS201504130603131517901689_DA.019.png">,所以

a=2 12分

考點(diǎn):1. 直線與平面垂直的判定;2二面角.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.必要非充分條件

C.充要條件

D.非充分非必要條件

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①測(cè)量,

②測(cè)量,,

③測(cè)量,,

④測(cè)量,,

則一定能確定,間距離的所有方案的序號(hào)為

(A)①②③ (B)②③④

(C)①③④ (D)①②③④

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