【題目】如圖，正方形中， ， 與交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到三棱錐， ， 分別是， 的中點(diǎn).

(1)求證： ；

(2)若三棱錐的最大體積為，當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳角時(shí)，求二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊前幾何關(guān)系得， ，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得；（2）先確定三棱錐的取最大體積的條件：三棱錐的高為，再根據(jù)三棱錐體積公式得三棱錐的體積為時(shí)條件： 平面，最后根據(jù)等體積法求三棱錐的體積.

試題解析：(1)依題意易知， ， ，∴平面，

又∵平面，∴.

(2)當(dāng)體積最大時(shí)三棱錐的高為，當(dāng)體積為時(shí)，高為，

中， ，作于，∴，∴，

∴為等邊三角形，∴與重合，即平面，

易知.

∵平面，∴，∴，

∴.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖， ， 為中點(diǎn)，且平面， .已知.

（1）求直線與所成角；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖的的值；

（2）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說(shuō)明理由.

（3）估計(jì)居民月用水量的中位數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額如下表：

商店名稱

A

B

C

D

E

銷(xiāo)售額x/千萬(wàn)元

3

5

6

7

9

利潤(rùn)額y/百萬(wàn)元

2

3

3

4

5

（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)圖，說(shuō)明兩個(gè)變量是否線性相關(guān)；

（2）用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷(xiāo)售額x的線性回歸方程；

（3）當(dāng)銷(xiāo)售額為4千萬(wàn)元時(shí)，估計(jì)利潤(rùn)額的大小.

（參考公式：，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】墻上有一壁畫(huà)，最高點(diǎn)處離地面米，最低點(diǎn)處離地面米，距離墻米處設(shè)有防護(hù)欄，觀察者從離地面高米的處觀賞它.

（1）當(dāng)時(shí)，觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角最大？

（2）若，視角的正切值恒為，觀察者離墻的距離應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在圓內(nèi)有一點(diǎn),為圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程．

（Ⅱ）若動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).問(wèn)是否存在一個(gè)定圓與動(dòng)直線總相切.若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間(無(wú)需證明) ；

（Ⅲ）若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的二階不動(dòng)點(diǎn)，求函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了調(diào)查觀眾對(duì)某熱播電視劇的喜愛(ài)程度，某電視臺(tái)在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了8名觀眾作問(wèn)卷調(diào)查，得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：

（1）計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾問(wèn)卷的平均得分；

（2）計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾問(wèn)卷得分的方差；

（3）若從甲地被抽取的8名觀眾中再邀請(qǐng)2名進(jìn)行深入調(diào)研，求這2名觀眾中恰有1人的問(wèn)卷調(diào)查成績(jī)?cè)?0分以上的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某車(chē)間的一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出一批零件，現(xiàn)從中抽取8件，將其編為， ，…， ，測(cè)量其長(zhǎng)度（單位： ），得到下表中數(shù)據(jù)：

編號(hào)

長(zhǎng)度

1.49

1.46

1.51

1.51

1.53

1.51

1.47

1.51

其中長(zhǎng)度在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.

（1）從上述8個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；

（2）從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè).

①用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求這2個(gè)零件長(zhǎng)度相等的概率.

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