【題目】已知 在橢圓C: 上,F(xiàn)為右焦點,PF⊥垂直于x軸,A,B,C,D為橢圓上的四個動點,且AC,BD交于原點O.
(1)求橢圓C的方程;
(2)判斷直線l: 與橢圓的位置關(guān)系;
(3)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2)滿足 = ,判斷kAB+kBC的值是否為定值,若是,請求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則說明理由.
【答案】
(1)
解:由題意可知:PF⊥垂直于x軸,則c= , = ,
∴ = = ,
解得:a=2,b=1,
∴橢圓的標準方程:
(2)
解:將直線l: ,轉(zhuǎn)化成( +y﹣ )m+( ﹣y﹣ )n=0,
由m,n∈R,則 ,解得: ,
∴動直線l恒過P點,
由P在橢圓上,
∴直線l與橢圓的位置關(guān)系是相切或相交
(3)
解:∵ = ,則4y1y2=x1x2,
若直線AB的斜率不存在(或AB的斜率為0時),不滿足4y1y2=x1x2;
直線AB的斜率存在且不為0時,設(shè)直線方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.
△=(8km)2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=16(4k2﹣m2+1)>0,①
x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
∵4y1y2=x1x2,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
∴(4k2﹣1)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0,
即(4k2﹣1)× +4km(﹣ )+4m2=0.
整理得:k=± .
∵A、B、C、D的位置可以輪換,∴AB、BC的斜率一個是 ,另一個就是﹣ .
∴kAB+kBC= ﹣ =0,是定值.
不妨設(shè)kAB=﹣ ,則x1+x2=2m,x1x2=2(m2﹣1).
設(shè)原點到直線AB的距離為d,則S△AOB= |AB|d= |x1﹣x2| = = = ≤1.
當m2=1時滿足①取等號.
∴S四邊形ABCD=4S△AOB≤4,即四邊形ABCD面積的最大值為4
【解析】(1)由PF⊥垂直于x軸,則c= , = ,及a2=b2+c2 , 即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;(2)將直線方程化簡,即可求得 ,則動直線l恒過P點,直線l與橢圓的位置關(guān)系是相切或相交;(3)由 = ,則4y1y2=x1x2 , 當直線AB的斜率存在且不為0時,設(shè)直線方程為y=kx+m,代入橢圓方程,利用韋達定理及4y1y2=x1x2 , 求得k,把三角形AOB的面積化為關(guān)于m的函數(shù),利用基本不等式求其最值,進一步得到四邊形ABCD面積的最大值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0,則下列選項的命題中為假命題的是( )
A.x∈R,f(x)≤f(x0)
B.x∈R,f(x)≥f(x0)
C.x∈R,f(x)≤f(x0)
D.x∈R,f(x)≥f(x0)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|﹣|2x|.
(1)解不等式f(x)>﹣3;
(2)求函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系xoy中,直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)),以射線ox為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是 +ρ2sin2θ=1.
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 若點 在函數(shù)f(x)=﹣x+c的圖象上運動,其中c是與x無關(guān)的常數(shù),且a1=3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記 ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知是數(shù)列的前n項和,,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)對于正整數(shù),已知成等差數(shù)列,求正整數(shù)的值;
(3)設(shè)數(shù)列前n項和是,且滿足:對任意的正整數(shù)n,都有等式成立.求滿足等式的所有正整數(shù)n.
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