Question

已知函數f（x）=ln（x+1）-

ax

x+a

，其中a＞1，設a₁=1，a_n+1=ln（a_n+1）．請證明：

3

n+2

≥a_n≥

2

n+2

．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：證明題,導數的綜合應用,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：求a=2，3時函數的導數，判斷f（x）的單調性，得到ln（x+1）＞

2x

x+2

（x＞0），ln（x+1）＜

3x

x+2

，（0＜x＜3），再利用數學歸納法即可證明不等式．

解答： 證明：當a=2時，函數f（x）=ln（x+1）-

2x

2+x

的導數
f′（x）=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

≥0，
此時函數f（x）在（-1，+∞）上是增函數，
當x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞

2x

x+2

，（x＞0），
當a=3時，f（x）的導數為f′（x）=

x2-3x

(x+1)(x+3)2

，由f′（x）＜0，得0＜x＜3，
即有f（x）在（0，3）上是減函數，
則當x∈（0，3）時，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜

3x

x+2

，
下面用數學歸納法進行證明

2

n+2

＜a_n≤

3

n+2

成立，
①當n=1時，由已知

2

3

＜a₁=1，故結論成立．
②假設當n=k時結論成立，即

2

k+2

＜a_n≤

3

k+2

，
則當n=k+1時，a_n+1=ln（a_n+1）＞ln（

2

k+2

+1）＞

2• 2 k+2

2 k+2 +2

=

2

k+3

，
a_n+1=ln（a_n+1）＜ln（

3

k+2

+1）＜

3• 3 k+2

3 k+2 +3

=

3

k+3

，
即當n=k+1時，

2

k+3

＜a_k+1≤

3

k+3

成立，
綜上由①②可知，對任何n∈N^•結論都成立．

點評：本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，以及利用數學歸納法證明不等式，綜合性較強，難度較大．