Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜2時，求函數(shù)g（x）=f（x）-x²-ax-1在區(qū)間[0，3]的最小值．

Answer 1

本小題滿分（14分）
（Ⅰ）∵f′(x)=2(x+1)-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

.（2分）
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0；由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
又∵f（x）定義域為（-1，+∞），
∴所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0）（5分）
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-x²-ax-1
即g（x）=2x-ax-2ln（1+x），g′(x)=2-a-

2

x+1

=

(2-a)x-a

x+1

（7分）
令g'（x）=0由0＜a＜2及x＞-1，得x=

a

2-a

且當(dāng)x=

a

2-a

時f（x）取得極小值．（8分）
∵求f（x）在區(qū)間[0，3]上最小值
∴只需討論

a

2-a

與3的大小
①當(dāng)0＜a＜

3

2

時

a

2-a

＜3
所以函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為g(

a

2-a

)=a-2ln

2

2-a

（10分）
②當(dāng)a=

3

2

時

a

2-a

=3
所以函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為g(3)=

3

2

-4ln2（11分）
③當(dāng)a＞

3

2

時

a

2-a

＞3
所以函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為g（3）=

3

2

-4ln2（13分）
所以，綜上可知當(dāng)0＜a＜

3

2

時，函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為a-2ln

2

2-a

；
當(dāng)a≥

3

2

時，函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為

3

2

-4ln2．（14分）