Question

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某旅游城市在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），日旅游人數(shù)f（t）（萬(wàn)人）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿(mǎn)足f(t)=4+

1

t

，人均消費(fèi)g（t）（元）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿(mǎn)足g（t）=115-|t-15|．
（Ⅰ）求該城市的旅游日收益w（t）（萬(wàn)元）與時(shí)間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求該城市旅游日收益的最小值（萬(wàn)元）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)該城市的旅游日收益=日旅游人數(shù)×人均消費(fèi)的錢(qián)數(shù)得w（t）與t的解析式；
（Ⅱ）因?yàn)閣（t）中有一個(gè)絕對(duì)值，討論t的取值，1≤t＜15和15≤t≤30兩種情況化簡(jiǎn)得w（t）為分段函數(shù)，第一段運(yùn)用基本不等式求出最值，第二段是一個(gè)遞減的一次函數(shù)求出最值比較即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，w(t)=

(4+ 1 t )(t+100)，(1≤t＜15，t∈N*) (4+ 1 t )(130-t)，(15≤t≤30，t∈N*)

；
（Ⅱ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">w(t)=

(4+ 1 t )(t+100)，(1≤t＜15，t∈N*) (4+ 1 t )(130-t)，(15≤t≤30，t∈N*)

；
①當(dāng)1≤t＜15時(shí)，w(t)=(4+

1

t

)(t+100)=4(t+

25

t

)+401≥4×2

25

+401=441
當(dāng)且僅當(dāng)t=

25

t

，即t=5時(shí)取等號(hào)
②當(dāng)15≤t≤30時(shí)，w(t)=(4+

1

t

)(130-t)=519+(

130

t

-4t)，
可證w（t）在t∈[15，30]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t=30時(shí)，w（t）取最小值為403

1

3

由于403

1

3

＜441，所以該城市旅游日收益的最小值為403

1

3

萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況選擇函數(shù)類(lèi)型的能力，以及基本不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用能力．