Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，

an

an-1

=1-

1

n

（n≥2），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n=2（b_n-1）（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式
（2）記c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由數(shù)列遞推式利用累積法求得數(shù)列{a_n}的通項公式，把遞推式T_n=2（b_n-1）變形，得到數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，則其通項公式可求；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=1，

an

an-1

=1-

1

n

=

n-1

n

（n≥2），
∴

a2

a1

=

1

2

，

a3

a2

=

2

3

，…，

an

an-1

=

n-1

n

（n≥2）．
累積得：

an

a1

=

1

n

，
∴an=

1

n

．
由T_n=2（b_n-1），得b₁=2（b₁-1），b₁=2；
當(dāng)n≥2時，b_n=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1．
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則bn=2n．
（2）∵an=

1

n

，bn=2n，
∴記c_n=

bn

an

=n•2ⁿ．
Sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n．
2Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1．
兩式作差得，-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

點評：本題考查了累積法求數(shù)列的通項公式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．