Question

已知函數(shù)y=f（x）=

lnx

x

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=

1

e

處的切線方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）設(shè)實(shí)數(shù)a＞0，求函數(shù)F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線的斜率，求出切線方程．
（2）令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值．
（3）利用（2）的結(jié)論，判斷出函數(shù)的最大值在e處取得；最小值在端點(diǎn)處取得；通過對(duì)a的分類討論比較出兩個(gè)端點(diǎn)值的大小，求出最小值．

解答：解：（1）∵f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），∴f′（x）=

1-lnx

x2

∵f（

1

e

）=-e，又∵k=f′（

1

e

）=2e²，
∴函數(shù)y=f（x）的在x=處的切線方程為：
y+e=2e²（x-

1

e

），即y=2e²x-3e．
（2）令f′（x）=0得x=e．
∵當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，則在（e，+∞）上為減函數(shù)，
∴f_max（x）=f（e）=

1

e

．
（3）∵a＞0，由（2）知：
F（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x）_min=min{F（a），F(xiàn)（2a）}，
∵F（a）-F（2a）=

1

2

ln

a

2

，
∴當(dāng)0＜a≤2時(shí)，F(xiàn)（a）-F（2a）≤0，f_min（x）=F（a）=lna．
當(dāng)a＞2時(shí)，F(xiàn)（a）-F（2a）＞0，f（x）_min=f（2a）=

1

2

ln2a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線的斜率、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系、
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．