Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）把a(bǔ)=1代入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出函數(shù)f（x）極值；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)大于0，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)小于0，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
解答：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=-2x+1=-
令f'（x）=0，即-=0，解得x=-或x=1．
∵x＞0，∴x=-舍去．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，其值為f（1）=ln1-1²+1=0；無(wú)極小值．
（II）f′（x）=-2a2x+a==
若a=0，f′（x）=＞0，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）
若a≠0，令f′（x）==0，∴x1=-，x2=
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（0，），f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；在區(qū)間（，+∞），f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（0，-），f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；在區(qū)間（-，+∞），f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，綜合考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題的能力，考查已知函數(shù)的單調(diào)性的條件下怎樣求解參數(shù)的范圍問題，考查分類討論，函數(shù)與方程，配方法等數(shù)學(xué)思想與方法．