Question

某制藥廠準備投入適當?shù)膹V告費，對產(chǎn)品進行宣傳，在一年內(nèi)，預計年銷量Q（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數(shù)關系為Q=

3x+1

x+1

（x≥0）．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需后期再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”與“后期再投入”）．
（1）試將年利潤W萬元表示為年廣告費x萬元的函數(shù)，并判斷當年廣告費投入100萬元時，企業(yè)虧損還是盈利？
（2）當年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應用

專題：計算題,應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由由題意，每件售價為

3+32Q

Q

×150%+

x

Q

×50%=

9+96Q+x

2Q

元，從而寫出w=

-x2+98x+35

2(x+1)

，代入求x=100時的正負即可；
（2）化簡w=

-x2+98x+35

2(x+1)

=-

1

2

（（x+1）+

64

x+1

）+50，利用基本不等式求解．

解答： 解：（1）由題意，
每件售價為

3+32Q

Q

×150%+

x

Q

×50%=

9+96Q+x

2Q

，
則w=

9+96Q+x

2Q

•Q-x-3-32Q=

9+96Q+x-2x-6-64Q

2

=

-x2+98x+35

2(x+1)

，
則當x=100時，
w=

-10000+9800+35

2×101

＜0，
故企業(yè)虧損．
（2）w=

-x2+98x+35

2(x+1)

=-

1

2

（（x+1）+

64

x+1

）+50
≤50-8=42（當且僅當x=7時，等號成立）．
故當年廣告費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大．

點評：本題考查了學生將實際問題化為數(shù)學問題的能力，同時考查了學生化簡能力及基本不等式求最值問題，屬于中檔題．