Question

已知等差數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，a₂=8，前10項和S₁₀=185．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和T_n；
（Ⅲ）若從數(shù)列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…項，按原來的順序排成一個新的數(shù)列{b_n}，試求新數(shù)列{b_n}的前n項和A_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可得

a1+d=8 10a1+ 10×9 2 d=185

，解方程可求a₁，d，進(jìn)而可求通項公式
（II）由

1

anan+1

=

1

(3n+2)(3n+5)

=

1

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)，故考慮利用裂項求和即可
（III）由bn=a2n=3•2n+2，則新數(shù)列的前n項和An=a2+a4+a8+…+a2n，利用等比數(shù)列的求和公式可求

解答：解．（I）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₂=8，S₁₀=185．
∴

a1+d=8 10a1+ 10×9 2 d=185

∴

a1=5 d=3

a_n=5+（n-1）×3=3n+2…（4分）
（II）

1

anan+1

=

1

(3n+2)(3n+5)

=

1

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)
Tn=

1

3

[(

1

5

-

1

8

)+(

1

8

-

1

11

)+(

1

11

-

1

14

)+…+(

1

3n+2

-

1

3n+5

)]…(6分)
=

1

3

(

1

5

-

1

3n+5

)…(8分)
=

n

15n+25

…(9分)
（III）bn=a2n=3•2n+2…（11分）
新數(shù)列的前n項和An=a2+a4+a8+…+a2n
=3（2+4+8+…+2ⁿ）+2n
=3

2(1-2n)

1-2

+2n
=3•2ⁿ⁺¹-6+2n…（13分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，數(shù)列求和方法中的裂項求和的應(yīng)用及等比數(shù)列的性質(zhì)：在等比數(shù)列中相隔相等的相等的項抽出一項組成新的數(shù)列任然是等比數(shù)列