Question

（2005•海淀區(qū)二模）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，且2sin²

A+B

2

+cos2C=1
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若a²+b²=5，c=

3

，試求a、b的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角恒等變換和誘導公式化簡已知等式，得2cos²C+cosC-1=0，從而解出cosC=

1

2

，可得C=

π

3

；
（II）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，代入數據化簡得a²+b²-ab=3，結合a²+b²=5算出ab=2，從而兩式聯(lián)解可得邊a、b的值．

解答：解：（I）∵2sin2

A+B

2

+cos2C=1
∴化簡得1-cos（A+B）+2cos²C-1=1，…（2分）
又∵A+B+C=π，得cos（A+B）=-cosC
∴將上式整理，得2cos²C+cosC-1=0，即（2cosC-1）（cosC+1）=0…（4分）
解之得cosC=

1

2

（舍去-1），結合0＜C＜π，得C=

π

3

…（7分）
（II）根據余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得
a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=3
∵a²+b²=5，∴代入上式可得ab=2
兩式聯(lián)解，可得a=1，b=2或a=2，b=1．

點評：本題給出三角形的角滿足的關系式，求角C的大小并依此求邊a、b．著重考查了三角恒等變換、誘導公式和余弦定理等知識，屬于中檔題．