已知函數(shù),其中a,b∈R.
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為y=3x+1,求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對(duì)于任意的,不等式f(x)≤10在上恒成立,求b的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為點(diǎn)的斜率,再根據(jù)f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為y=3x+1,解出a值;
(Ⅱ)由題意先對(duì)函數(shù)y進(jìn)行求導(dǎo),解出極值點(diǎn),因極值點(diǎn)含a,需要分類討論它的單調(diào)性;
(Ⅲ)已知,恒成立的問(wèn)題,要根據(jù)(Ⅱ)的單調(diào)區(qū)間,求出f(x)的最大值,讓f(x)的最大值小于10就可以了,從而解出b值.
解答:解:(Ⅰ)解:,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'(2)=3,于是a=-8.
由切點(diǎn)P(2,f(2))在直線y=3x+1上可得-2+b=7,解得b=9.
所以函數(shù)f(x)的解析式為
(Ⅱ)解:
當(dāng)a≤0時(shí),顯然f'(x)>0(x≠0).這時(shí)f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上內(nèi)是增函數(shù).
當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:

所以f(x)在,內(nèi)是增函數(shù),在,(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù).
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,f(x)在上的最大值為與f(1)的較大者,對(duì)于任意的,不等式f(x)≤10在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng),
,對(duì)任意的成立.
從而得,所以滿足條件的b的取值范圍是
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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  (2)、在閉區(qū)間上是否存在的對(duì)稱軸?如果存在,求出其對(duì)稱軸的方程,

        若不存在,說(shuō)明理由。

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