Question

16．設(shè)偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，則不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}＜0$的解集為（　�。�

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）
• C． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解∵偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（$\frac{1}{2}$）=0，
則f（x）定義的圖象為：
則∵f（x）是偶函數(shù)，
∴不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}＜0$等價為$\frac{2f（x）}{2x}$=$\frac{f（x）}{x}$＜0，
即x＞0時，f（x）＜0，即此時x＞$\frac{1}{2}$，
x＜0時，f（x）＞0，-$\frac{1}{2}$＜x＜0，
即不等式的解集為（-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
故選：A

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系作出函數(shù)的簡單圖象是解決本題的關(guān)鍵．