Question

（備用）已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性；
（2）對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有f（1-t）+f（1-t²）＜0，求實(shí)數(shù)t的集合A．

Answer 1

解：（1）∵f（x） 定義域?yàn)镽，
，
所以f（x）是奇函數(shù)；
在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=
=
=，
∵a＞1，x₁＜x₂，
∴，，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）是增函數(shù)．
（2）∵f（1-t）+f（1-t²）＜0，f（x）是奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，
∴f（1-t）＜f（t²-1），
∵t∈（-1，1），
∴，即，
解得1＜t＜，
∴集合A={t|1＜t＜}．
分析：（1）f（x）r 定義域?yàn)镽，，所以f（x）是奇函數(shù)；再由定義證明f（x）的單調(diào)性，是增函數(shù)．
（2）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，f（x）是奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，知f（1-t）＜f（t²-1），所以x∈（-1，1）時(shí)，f（1-t）+f（1-t²）＜0等價(jià)于，由此能求出集合A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和集合的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．