Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+1．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）在[0，1]上的最小值為$\frac{11}{12}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）在[0，1]上的最小值為$\frac{11}{12}$，即可求a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+1，f′（x）=x²-1   …（1分）
∴f′（0）=-1  …（2分）
∵f（0）=1 …（3分）
所以切線的方程為y-1=-（x-0），即 y=-x+1 …（4分）
（2）f′（x）=x²-a   …（5分）
?當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0對(duì)x∈（0，1）成立，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在x=0處取最小值f（0）=1       …（6分）
因?yàn)?≠$\frac{11}{12}$，所以a≤0不成立  …（7分）
?當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=x²-a=0，x1=-$\sqrt{a}$，x2=$\sqrt{a}$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\sqrt{a}$＜1，當(dāng)x∈（0，$\sqrt{a}$）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（$\sqrt{a}$，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以f（x）在x=$\sqrt{a}$處取得最小值f（$\sqrt{a}$）=1-$\frac{2a\sqrt{a}}{3}$=$\frac{11}{12}$，∴$a=\frac{1}{4}$．
當(dāng)a≥1時(shí)，$\sqrt{a}$≥1，x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
所以f（x）在x=1處取得最小值f（1）=$\frac{4}{3}$-a．                
令$\frac{4}{3}$-a=$\frac{11}{12}$，解得a=$\frac{5}{12}$（舍去）                               
綜上$α=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)性，屬于中檔題．