Question

設(shè)直線l：y=5x+4是曲線C：f（x）=

1

3

x3-x2+2x+m的一條切線，g（x）=ax²+2x-23．
（Ⅰ）求切點(diǎn)坐標(biāo)及m的值；
（Ⅱ）當(dāng)m∈Z時(shí)，存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
∵f'（x）=x²-2x+2，∴x02-2x0+2=5，解得x₀=-1或x₀=3，
當(dāng)x₀=-1時(shí)，y₀=-1，∵P（-1，-1）在曲線C上，∴m=

7

3

，
當(dāng)x₀=3時(shí)，y₀=19，∵P（3，19）在曲線C上，∴m=13，
∴切點(diǎn)P（-1，-1），m=

7

3

，
切點(diǎn)P（3，19），m=13．       
（Ⅱ）解法一：∵m∈Z，∴m=13，
設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+36，
若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，則只要h（x）_min≤0，
h'（x）=x²-2（1+a）x=x[x-2（1+a）]，
（ⅰ）若1+a≥0即a≥-1，令h'（x）＞0，得x＞2（1+a）或x＜0，
∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（2（1+a），+∞）上是增函數(shù)，
令h'（x）≤0，解得0≤x≤2（1+a），
∴h（x）在[0，2（1+a）]上是減函數(shù)，∴h（x）_min=h（2（1+a）），
令h（2（1+a））≤0，解得a≥2，
（ⅱ）若1+a＜0即a＜-1，令h'（x）＞0，解得x＜2（1+a）或x＞0，
∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴h（x）_min=h（0），
令h（0）≤0，不等式無(wú)解，∴a不存在，
綜合（�。�（ⅱ）得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．
解法二：由f（x）≤g（x）得ax2≥

1

3

x3-x2+36，
（�。┊�(dāng)x≠0時(shí)，a≥

1

3

x+

36

x2

-1，設(shè)h(x)=

1

3

x+

36

x2

-1
若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，則只要h（x）_min≤a，
h′(x)=

1

3

-

72

x3

=

x3-63

3x3

，
令h'（x）≥0解得x≥6，∴h（x）在[6+∞）上是增函數(shù)，
令h'（x）＜0，解得0＜x＜6，∴h（x）在（0，6）上是減函數(shù)，
∴h（x）_min=h（6）=2，∴a≥2，
（ⅱ）當(dāng)x=0時(shí)，不等式ax2≥

1

3

x3-x2+36不成立，
∴a不存在，
綜合（�。�（ⅱ）得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．