Question

4、設(shè)函數(shù)f（x）=x²+mx（x∈R），則下列命題中的真命題是（　　）

A、任意m∈R，使Y=f（x）都是奇函數(shù)

B、存在m∈R，使y=f（x）是奇函數(shù)

C、任意m∈R，使y=f（x）都是偶函數(shù)

D、存在m∈R，使y=f（x）是偶函數(shù)

Answer 1

分析：從函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷，對(duì)于f（x）=x²+mx，不論m為何值時(shí)，定義域總是R，故而只需求出f（-x）和-f（x），即f（-x）=（-x）²+m（-x）=x²-mx，-f（x），若函數(shù)為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），即x²-mx=-x²-mx恒成立，而x²-mx=-x²-mx恒成立是不可能，故不論m為何值均不能使f（x）為奇函數(shù)；若函數(shù)為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），即x²+mx=x²-mx恒成立，故只需要m為0時(shí)即可

解答：解：由題意知函數(shù)的定義域均為R
若函數(shù)為奇函數(shù)
則f（-x）=-f（x），
即x²-mx=-x²-mx恒成立，
而x²-mx=-x²-mx只有在x=0時(shí)才成立，而題中給出的x是一切實(shí)數(shù)，故x²-mx=-x²-mx恒成立是不可能，
故不論m為何值均不能使f（x）為奇函數(shù)；
若函數(shù)為偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），
即x²+mx=x²-mx恒成立，
故只需要m為0時(shí)即可
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．