Question

8．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC=BC=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求證：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）試確定點(diǎn)E的位置，使得CF∥面AEB₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用條件推出BB₁⊥平面ABC．得到CF⊥BB₁．CF⊥AB．然后利用直線與平面垂直的判定定理證明CF⊥平面ABB₁．
（Ⅱ）判斷點(diǎn)E為CC₁的中點(diǎn)，證明：取A₁B₁的中點(diǎn)，記為M．連接FM，MC₁．設(shè)AB₁∩FM=N，說明四邊形CC₁MF是平行四邊形，推出N是MF的中點(diǎn)，得到E是CC₁的中點(diǎn)．

解答 （Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵CF?平面ABC，∴CF⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，∴CF⊥AB．又∵BB₁∩AB=B，∴CF⊥平面ABB₁．…（6分）
（Ⅱ）點(diǎn)E為CC₁的中點(diǎn)，證明如下：
取A₁B₁的中點(diǎn)，記為M．連接FM，MC₁．設(shè)AB₁∩FM=N，
∵FM∥CC₁，且FM=CC₁，
∴四邊形CC₁MF是平行四邊形，
∵CF∥面AEB₁，CF?面CC₁MF，面CC₁MF∩面AEB₁=EN，
∴CF∥EN，
∵N是MF的中點(diǎn)，
∴E是CC₁的中點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考邏輯推理能力．