Question

如圖，橢圓Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過點(diǎn)F的一動直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程．
（2）在Q的方程中，令a²=1+cosq+sinq，b²=sinq（0＜q≤

π

2

），確定q的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和A，B的坐標(biāo)進(jìn)而把A，B代入到橢圓方程聯(lián)立，先看當(dāng)當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，方程組中兩式相減，進(jìn)而求得x和y的關(guān)系及P的軌跡方程；再看AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足剛才所求的方程，最后綜合可得答案．
（2）先根據(jù)橢圓方程求得其右準(zhǔn)線方程，求得原點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離，根據(jù)c²=a²-b²，求得

a2

c

=2sin（

q

2

+

π

4

），進(jìn)而可知
當(dāng)q=

π

2

時(shí)，上式達(dá)到最大值．此時(shí)a，b和c可求得，則可求得此時(shí)的橢圓的方程，設(shè)橢圓Q：

x2

2

+y2=1上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則可表示出三角形的面積，把直線m的方程代入橢圓方程，消去x，根據(jù)韋達(dá)定理由韋達(dá)定理得y₁+y₂和y₁y₂的表達(dá)式，進(jìn)而求得三角形面積的表達(dá)式，令t=k²+1³1，進(jìn)而求得S關(guān)于t的函數(shù)，根據(jù)t的范圍確定三角形面積S的最大值．

解答：解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），
則

b2 x 2 1 +a2 y 2 1 =a2b2(1) b2 x 2 2 +a2 y 2 2 =a2b2(2)

1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x₁¹x₂，
由（1）-（2）得
b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

b2x

a2y

=

y

x-c

∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）
2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）
故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0

（2）因?yàn)�，橢圓Q右準(zhǔn)線l方程是x=

a2

c

，原點(diǎn)距l(xiāng)的距離為

a2

c

，
由于c²=a²-b²，a²=1+cosq+sinq，b²=sinq（0＜q≤

π

2

）
則

a2

c

=

1+cosq+sinq

1+cosq

=2sin（

q

2

+

π

4

）
當(dāng)q=

π

2

時(shí)，上式達(dá)到最大值．
此時(shí)a²=2，b²=1，c=1，D（2，0），|DF|=1
設(shè)橢圓Q：

x2

2

+y2=1上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），三角形ABD的面積
S=

1

2

|y₁|+

1

2

|y₂|=

1

2

|y₁-y₂|
設(shè)直線m的方程為x=ky+1，代入

x2

2

+y2=1中，得（2+k²）y²+2ky-1=0
由韋達(dá)定理得y₁+y₂=-

2k

2+k2

，y₁y₂=-

1

2+k2

，
4S²=（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

8(k2+1)

(k2+2)2

令t=k²+1³1，
得4S²=

8t

(t+1)2

=

8

t+ 1 t +2

≤

8

4

=2，
當(dāng)t=1，k=0時(shí)取等號．
因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí)，三角形ABD的面積最大．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．