Question

若△ABC三邊成等差數(shù)列，則B的范圍是

 

；若△ABC三邊成等比數(shù)列，則B的范圍是

 

．

Answer 1

分析：設出三角形的三邊分別為a，b，c，由三邊成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根據(jù)B的范圍及余弦函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)即可得到B的范圍；當三邊成等比數(shù)列時，利用等比數(shù)列的性質得到b的平方等于ac的積，同理利用余弦定理表示出cosB，把求出的關系式代入后，利用基本不等式即可得到cosB的最小值，根據(jù)B的范圍，且根據(jù)余弦函數(shù)在此范圍為減函數(shù)，即可得到B的范圍．

解答：解：設三角形的三邊分別為a，b，c，
由三邊成等差數(shù)列可知：b=

a+c

2

，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，
當且僅當a=c時取等號，
又B∈（0，π），且余弦函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)，所以B∈（0，

π

3

]；
由三邊成等比數(shù)列可知：b²=ac，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
同理可得B∈（0，

π

3

]．
故答案為：（0，

π

3

]；（0，

π

3

]．

點評：此題考查學生靈活運用余弦定理化簡求值，掌握余弦函數(shù)的圖象與性質，靈活運用基本不等式求函數(shù)的最大值，是一道綜合題．