【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣ +a,x∈[1,6],a∈R.
(1)若a=1,試判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a∈(1,6)時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值的表達(dá)式M(a).

【答案】
(1)

解:∵a=1,x∈∈[1,6],

∴f(x)=|x﹣1|﹣ +1=x﹣ ,

∴f′(x)=1+ >0,

∴f(x)是增函數(shù);


(2)

解:因?yàn)?<a<6,所以f(x)= ,

①當(dāng)1<a≤3時(shí),f(x)在[1,a]上是增函數(shù),在[a,6]上也是增函數(shù),

所以當(dāng)x=6時(shí),f(x)取得最大值為

②當(dāng)3<a<6時(shí),f(x)在[1,3]上是增函數(shù),在[3,a]上是減函數(shù),在[a,6]上是增函數(shù),

而f(3)=2a﹣6,f(6)=

當(dāng)3<a≤ 時(shí),2a﹣6≤ ,當(dāng)x=6時(shí),f(x)取得最大值為

當(dāng) ≤a<6時(shí),2a﹣6> ,當(dāng)x=3時(shí),f(x)取得最大值為2a﹣6.

綜上得,M(a)=


【解析】(1)可求得f(x)=x﹣ ,利用f′(x)>0即可判斷其單調(diào)性;(2)由于1<a<6,可將f(x)化為f(x)= ,分1<a≤3與3<a<6討論函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)f(x)的最大值的表達(dá)式M(a).
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較;利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲导纯梢越獯鸫祟}.

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空氣質(zhì)量指數(shù)

空氣質(zhì)量等級(jí)

級(jí)優(yōu)

級(jí)良

級(jí)輕度污染

級(jí)中度污染

級(jí)重度污染

級(jí)嚴(yán)重污染

該社團(tuán)將該校區(qū)在天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率

請(qǐng)估算年(以天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算);

)該校日將作為高考考場(chǎng),若這兩天中某天出現(xiàn)級(jí)重度污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,出現(xiàn)級(jí)嚴(yán)重污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,記這兩天凈化空氣總費(fèi)用為元,求的分布列及數(shù)學(xué)期望

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