Question

(創(chuàng)新題)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，

(1)證明f(x)是奇函數(shù)，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)分別計(jì)算f(4)－5f(2)·g(2)和f(9)－5f(3)·g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)的對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)證明：∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，

　　又f(－x)＝＝＝－f(x)，

　　∴f(x)是奇函數(shù)．

　　設(shè)x₁＜x₂，且x₁，x₂∈(0，＋∞)，∴f(x₁)－f(x₂)＝

　　＝()()．

　　∵＜0，1＋＞0，

　　∴f(x₁)－f(x₂)＜0

　　∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

　　又f(x)是奇函數(shù)，

　　∴f(x)在(－∞，0)上也單調(diào)遞增．

　　∴f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)．

　　(2)解：計(jì)算得f(4)－5f(2)·g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0．

　　由此概括出對(duì)所有不等式等于零的實(shí)數(shù)x，有f(x²)－5f(x)·g(x)＝0．

　　證明如下：f(x²)－5f(x)·g(x)＝－5··

　　＝·(－)(－)＝0．