Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=$\sqrt{3}$，E、F、G分別是BC、PB、AD上的點(diǎn)，且AF⊥PC，AG=3GD．
（1）若BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求證：DE⊥平面PAC；
（2）若BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求證：FG∥平面PDE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分別以AD，AB，AP三直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量$\overrightarrow{DE}$、$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，利用數(shù)量積得出$\overrightarrow{DE}$⊥$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{DE}$⊥$\overrightarrow{AC}$，即可證明DE⊥平面PAC；
（2）利用坐標(biāo)表示求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，得F為PB中點(diǎn)，取PE中點(diǎn)H，連接FH，DH，證明四邊形FHDG為平行四邊形，
即可證明FG∥平面PDE．

解答 解：（1）證明：根據(jù)題意，AD，AB，AP三直線兩兩垂直，
分別以這三直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則：A（0，0，0），B（0，1，0），
C（$\sqrt{3}$，1，0），D（$\sqrt{3}$，0，0），
P（0，0，1）；
BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，E（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1，0），
∴$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\overrightarrow{DE}$⊥$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{DE}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
即DE⊥AP，DE⊥AC，且AP∩AC=A，
∴DE⊥平面PAC；
（2）證明：∵G在邊AD上，AG=3GD；
∴G（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，0，0）；
F在棱PB上，∠PBA=45°，∴設(shè)F（0，y₁，1-y₁），又AF⊥PC，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{PC}$=0，則y₁+y₁-1=0，解得y₁=$\frac{1}{2}$，
∴F（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），即F為PB中點(diǎn)；
取PE中點(diǎn)H，連接FH，DH，則FH∥GD；
又FH為△PBE的中位線；
∴FH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
又∵GD=$\frac{1}{4}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴FH=GD，
∴四邊形FHDG為平行四邊形，
∴FG∥HD；
又FG?平面PED，HD?平面PDE，
∴FG∥平面PDE．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直與線面平行的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量得出平行與垂直的判斷，是綜合性題目．