Question

【題目】已知為等差數(shù)列，各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，__________.在①；②；③這三個(gè)條件中任選其中一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并完成下面問題的解答（如果選擇多個(gè)條件解答，則以選擇第一個(gè)解答記分）.

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）選①：，；選②：，；選③：，；（2）選①：；選②：；選③：

【解析】

（1）根據(jù)所選條件，建立方程組，求解基本量，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，選擇錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.

選①解：

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

∵，∴，∴，，

∴，

由，

當(dāng)時(shí)，有，則有，即

當(dāng)時(shí)，，

即，所以是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

∴.

（2）由（1）知，

∴，①

，②

①-②得：，

∴.

選②解：

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

∵，∴，∴，

∴，

∴，

設(shè)等比數(shù)列的公比為，

∵，

∴，

又∵，∴，解得，或（舍），

∴.

（2）由（1）可知，

∴，

，②

①-②得：，

∴.

選③解：

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

∵，∴，∴，，

∴，

∵，，

令，得，即，∴，∴，

∴；

（2）解法同選②的第（2）問解法相同.