Question

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），進(jìn)而可知

m2

a2

-

n2

b2

=1、又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求的兩直線斜率乘積的表達(dá)式，把y和x的表達(dá)式代入發(fā)現(xiàn)結(jié)果與p無關(guān)．

解答：解：類似的性質(zhì)為若MN是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），
其中

m2

a2

-

n2

b2

=1、又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

，
得k_PM•k_PN=

y-n

x-m

•

y+n

x+m

=

y2-n2

x2-m2

，
將y²=

b2

a2

x²-b²，n²=

b2

a2

m²-b²，代入得k_PM•k_PN=

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．