Question

如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件的特點，取BC的中點O，連接AO、SO，既可證明AO⊥平面BSC，又可證明SO⊥平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理可得到結(jié)論．

解答：證明：取BC的中點O，連接AO、SO．
∵AS=BS=CS，SO⊥BC，
又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC，
從而AO⊥BC．
設(shè)AS=a，又∠BSC=90°，則SO=

2

2

a．
又AO=

AB2-BO2

=

a2- 1 2 a2

=

2

2

a，
∴AS²=AO²+SO²，故AO⊥OS．
從而AO⊥平面BSC，又AO?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC．

點評：本題是面面垂直的證明問題．一條是從定義出發(fā)的思路，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線．但圖中似乎沒有現(xiàn)成的這樣的直線，故作輔助線，屬于中檔題．