Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A，B分別是橢圓的長軸和短軸的端點，且原點到直線AB的距離為

2

5

5

b．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）直線l與圓O：x²+y²=b²相切，并且被橢圓C截得的弦長的最大值為2，求橢圓C的標準方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：對于（1），由A，B兩點的坐標，得直線AB的方程，由點到直線的距離公式，得a，b的關系式，聯(lián)立b²=a²-c²，可得離心率e．
對于（2），當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m，聯(lián)立l與圓O的方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，根據(jù)△=0，得k與m的關系式，再聯(lián)立l與橢圓C的關系式，消去y，得到另一個關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理、弦長公式及前面所得k與m的關系，寫出弦長的表達式，用b表示弦長的最大值；當直線l的斜率不存在時，易得弦長的表達式，于是可根據(jù)弦長的最大值為2，得b的值，由（1）中所得a，b的關系，即可得橢圓C的標準方程．

解答： 解：（1）不妨設橢圓C的右頂點為A，上頂點為B，
則直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
依題意，原點O到直線AB的距離d=

ab

b2+a2

=

2 5

5

b，
化簡，得a²=4b²，
結合b²=a²-c²，得

c

a

=

3

2

，即離心率e=

3

2

．
（2）設直線l與橢圓C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
（i）當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m，
聯(lián)立x²+y²=b²，消去y，整理，得（1+k²）x²+2kmx+m²-b²=0．
由于直線l與圓O相切，所以△₁=（2km）²-4（1+k²）（m²-b²）=0，
得m²-b²=k²b²．
由

y=kx+m x2 4b2 + y2 b2 =1

，消去y，整理，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4b²=0，
由韋達定理，得

x1+x2=- 8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4b2 1+4k2

，
且△₂=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4b²）＞0，
從而|PQ|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

•

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4b2 1+4k2

=

k2+1

•

64k2b2-16(m2-b2) (1+4k2)2

，
 結合m²-b²=k²b²，整理，得|PQ|=

3

b

64k4+16k2 (1+4k2)2

=

3

b

- 3 (1+4k2)2 + 2 1+4k2 +1

．
又設

1

1+4k2

=t，易知，k≠0，∴0＜t＜1，則|PQ|=

3

b

-(t- 1 3 )2+ 4 3

，
當t=

1

3

即k2=

1

2

時，得|PQ|_max=

3

b

4 3

=2b，
（ii）當直線l的斜率不存在時，不妨設l的方程為x=b，易知P（b，

b

2

），Q（b，

b

2

），
此時|PQ|=b＜2b，|PQ|不是最大，
綜合（i）、（ii）知，|PQ|_max=2b=2，∴b²=1，得a²=4b²=4，
故橢圓C的標準方程為

x2

4

+y2=1．

點評：本題考查了橢圓的幾何性質，圓與橢圓的相交弦問題等．求橢圓的標準方程，除了條件“b²=a²-c^2”外，還需尋找關于a，b，c的另外兩個獨立的關系式．