Question

某城市有一條公路,自西向東經(jīng)過A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB,現(xiàn)要修建一條鐵路L,L在OA上設(shè)一站A,在OB上設(shè)一站B,鐵路在AB部分為直線段,現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km,問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.(不要求作近似計(jì)算)

Answer 1

解：在△AOB中,設(shè)OA=a,OB=b.

    因?yàn)锳O為正西方向,OB為東北方向,

    所以∠AOB=135°.

    則|AB|²=a²+b²-2abcos135°=a²+b²+ab≥2ab+ab=(2+)ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),“=”成立.又O到AB的距離為10,設(shè)∠OAB=α,則∠OBA=45°-α.所以

    a=,b=,

    ab=·=

    =

    =

    =≥,

    當(dāng)且僅當(dāng)α=22°30′時(shí),“=”成立.

    所以|AB|²≥=400(+1)²,

    當(dāng)且僅當(dāng)a=b,α=22°30′時(shí),“=”成立.

    所以當(dāng)a=b==10時(shí),|AB|最短,其最短距離為20(+1),即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點(diǎn)10 km處,能使|AB|最短,最短距離為20(-1).