Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左右焦點分別為、，由4個點、、和組成一個高為，面積為的等腰梯形．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線和橢圓交于、兩點，求面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）取最大值3.

【解析】

試題分析：解：（1）由條件，得b=，且，

所以a+c=3.                                        2分

又，解得a=2，c=1.                      

所以橢圓的方程.                        4分

（2）顯然，直線的斜率不能為0，設(shè)直線方程為x=my-1，直線與橢圓交于A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).

聯(lián)立方程   ，消去x得,  ，

因為直線過橢圓內(nèi)的點，無論m為何值，直線和橢圓總相交.

               6分

=                   8分

                           10分

令,設(shè),易知時,函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)單調(diào)遞增

所以   當(dāng)t==1即m=0時，

取最大值3.                                       12分

考點：直線與橢圓的位置關(guān)系的運用

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的性質(zhì)來得到其方程，以及根據(jù)聯(lián)立方程組的思想來得到面積的表示，屬于基礎(chǔ)題。