Question

已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5cos²x+（其中x∈R），求：
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）圖象的對稱軸和對稱中心．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5cos²x+=-+
=5（ sin2x-）=5sin（2x-），故此函數(shù)的周期為 T==π．
（2）由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，
故增區(qū)間為：[kπ-，kπ+]，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，
故減區(qū)間：[kπ+，kπ+]，其中k∈z．
（3）由2x-=kπ+，k∈z 可得 x=+，故對稱軸方程：x=+．
由 2x-=kπ，k∈z 可得 x=，故對稱中心：（，0），其中，k∈z．
分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)f（x ）的解析式為 5sin（2x-），故此函數(shù)的周期為 T==π．
（2）由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍即為增區(qū)間，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍即為減區(qū)間．
（3）由2x-=kπ+，k∈z 求得對稱軸方程：x=+，由 2x-=kπ，k∈z 求得對稱中心（，0）．
點評：本題考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性，把函數(shù)f（x）的解析式化為 5sin（2x-） 是解題的突破口．