Question

（本小題滿分12分）設二次函數(shù)，關于的不等式

的解集有且只有一個元素.

（1）設數(shù)列的前項和，求數(shù)列的通項公式；

（2）記，求數(shù)列中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列？請說明理由.

Answer 1

（1）

（2）數(shù)列中不存在不同的三項能組成等

比數(shù)列

【解析】

試題分析：第（1）問由不等式的解集有且只有一個元素，得到，然后由此求

出數(shù)列的通項公式，由求通項時注意檢驗初始項是否滿足；第（2）問判斷數(shù)列中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列.

試題解析：（1）因為關于的不等式的解集有且只有一個元素，

所以二次函數(shù)（）的圖象與軸相切，

則，考慮到，所以.

從而，

所以數(shù)列的前項和（）. （3分）

于是當，時，，

當時，，不適合上式．

所以數(shù)列的通項公式為．

（2）．

假設數(shù)列中存在三項，，（正整數(shù)，，互不相等）成等比數(shù)列，則，

即，整理得.

因為，，都是正整數(shù)，所以，

于是，即，從而與矛盾．

故數(shù)列中不存在不同的三項能組成等比數(shù)列.

考點：數(shù)列通項公式，等比數(shù)列性質(zhì)．