Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，sin

A

2

=

5

5

，b²+c²-a²=6．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）若sinA=sinBsinC，求△ABC的外接圓半徑．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，將已知等式代入計算得到bccosA=3，根據(jù)sin

A

2

的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cosA與sinA的值，確定出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式求出△ABC的面積即可；
（Ⅱ）將sinA的值代入已知等式，利用正弦定理即可求出三角形ABC外接圓半徑．

解答： 解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=6，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

6

2bc

，即bccosA=3，
∵sin

A

2

=

5

5

，
∴cosA=1-2sin²

A

2

=

3

5

，sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∴bc=5，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=2；
（Ⅱ）∵sinA=sinBsinC，sinA=

4

5

，
∴sinBsinC=

4

5

，
∵由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

=2R，即sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

，bc=5，
∴

bc

4R2

=

4

5

，即R²=

25

16

，
則△ABC外接圓半徑R=

5

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．