Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=$\frac{π}{3}$，cos∠ADB=$\frac{1}{7}$．
（Ⅰ）求BD的長；
（Ⅱ）求證：∠ABC+∠ADC=π

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根據(jù)正弦定理即可解得BD的值．
（Ⅱ）根據(jù)已知及余弦定理可求cos∠C=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍∠C∈（0，π）可求∠C，可得∠A+∠C=π，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）在△ABD中，因為cos∠ADB=$\frac{1}{7}$，∠ADB∈（0，π），
所以sin∠ADB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．--------------------------（3分）
根據(jù)正弦定理，有$\frac{BD}{sin∠A}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，--------------------------（6分）
代入AB=8，∠A=$\frac{π}{3}$．
解得BD=7．--------------------------（7分）
（Ⅱ）在△BCD中，根據(jù)余弦定理cos∠C=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$．----------------------（10分）
代入BC=3，CD=5，得cos∠C=-$\frac{1}{2}$，∠C∈（0，π）所以$∠C=\frac{2π}{3}$，---------（12分）
所以∠A+∠C=π，而在四邊形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π，
所以∠ABC+∠ADC=π．-------（13分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題．