Question

已知函數(shù)，，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求的值；
（2）求在上的最小值；
（3）試探究能否存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性？若能存在，說(shuō)明區(qū)間的特點(diǎn)，并指出和在區(qū)間上的單調(diào)性；若不能存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2） 
（3）當(dāng)時(shí)，不能存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上均為減函數(shù)．

試題分析：（1）切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即為切線(xiàn)的斜率，根據(jù)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，斜率乘積為，建立的方程；
（2）遵循求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論區(qū)間單調(diào)性、確定極值（最值）；
（3）求的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045158966535.png" style="vertical-align:middle;" />，及導(dǎo)數(shù) ．     
根據(jù)時(shí)，，知在上單調(diào)遞減．
重點(diǎn)討論的單調(diào)性．
注意到其駐點(diǎn)為，故應(yīng)討論：
①， ②的情況，作出判斷．
綜上，當(dāng)時(shí)，不能存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上均為減函數(shù)．
試題解析：（1），，
在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，
                                                 3分
（2）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045159855293.png" style="vertical-align:middle;" />，且 ．
令，得．                                             4分
若，即時(shí)，，在上為增函數(shù)，；5分
若，即時(shí)，，在上為減函數(shù)，
；                                               6分
若，即時(shí)，
由于時(shí)，；時(shí)，，
所以
綜上可知                               8分
（3）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045158966535.png" style="vertical-align:middle;" />，且 ．     
時(shí)，，在上單調(diào)遞減．                      9分
令，得
①若時(shí)，，在上，單調(diào)遞增，由于在上單調(diào)遞減，所以不能存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；                                                            10分
②若時(shí)，，在上，單調(diào)遞減；
在上，單調(diào)遞增．由于在上單調(diào)遞減，存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上均為減函數(shù)．                                   
綜上，當(dāng)時(shí)，不能存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上均為減函數(shù)．                                                                    13分