四棱錐P—ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側棱，，M、N兩點分別在側棱PB、PD上，.

(1)求證：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面垂直、二面角等數(shù)學知識，考查學生用向量法解決立體幾何的能力，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力.第一問，連結AC、BD交于O，則在三角形APC中可知，在三角形PBO中，利用三邊長，可知，利用線面垂直的判定得平面ABCD，所以建立空間直角坐標系，得到各個點的坐標，得到和平面MNC的法向量的坐標，可求出//，所以平面MNC；第二問，利用平面NPC的法向量垂直于和得到法向量的坐標，利用夾角公式得到夾角的余弦值.
試題解析：設菱形對角線交于點，易知且
又.由勾股定理知，
又
 平面                      3分
建立如圖空間直角坐標系，，
，，
，                    5分

⑴顯然，，平面的法向量
，由∥，知平面            8分    
⑵設面的法向量為 由
取，得                             10分

所以平面與平面的夾角的余弦值為.    12分
考點：1.向量法；2.夾角公式；3.線面垂直的判定.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一點，，，，，.

（1）求異面直線與所成的角；
（2）求證：平面.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(理)已知直三棱柱中，，是棱的中點．如圖所示．
 
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，
且∥，是中點，平面，
， 是中點．

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如圖2。

（1）求證：BC⊥平面A1DC；
（2）若CD=2，求BE與平面A1BC所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，，，面，設為中點，點在線段上且．

（1）求證：平面；
（2）設二面角的大小為，若，求的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.

(1)當a=2時,求證:AO⊥平面BCD.
(2)當二面角A-BD-C的大小為120°時,求二面角A-BC-D的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點．
 
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

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