Question

已知函數(shù)f（x）=（x-2）（x+a），其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的對稱軸，得到

2-a

2

=1，解出即可；（Ⅱ）先求出函數(shù)的對稱軸，通過討論對稱軸的位置，從而得到答案．

解答： （Ⅰ）解法一：因為f（x）=（x-2）（x+a）=x²+（a-2）x-2a，
所以，f（x）的圖象的對稱軸方程為x=

2-a

2

．
由

2-a

2

=1，得a=0．
解法二：因為函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
所以必有f（0）=f（2）成立，
所以-2a=0，得a=0．
（Ⅱ）解：函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程為x=

2-a

2

．
①當

2-a

2

≤0，即 a≥2時，
因為f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（0）=-2a．
②當0＜

2-a

2

＜1，即 0＜a＜2時，
因為f（x）在區(qū)間(0，

2-a

2

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(

2-a

2

，1)上單調(diào)遞增，
所以f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(

2-a

2

)=-(

2+a

2

)2．
③當

2-a

2

≥1，即 a≤0時，
因為f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（1）=-（1+a）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．．