Question

已知A，B分別是直線y=x和y=-x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2

3

，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）若過點(diǎn)（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q，
①當(dāng)|PQ|=3時(shí)，求直線l的方程；
②試問在x軸上是否存在點(diǎn)E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)D（x，y），A（a，a），B（b，-b），然后根據(jù)線段AB的長(zhǎng)為2

3

，D是AB的中點(diǎn)消去a與b，得到x與y的等量關(guān)系，即為動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）①討論直線l與x軸是否垂直，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式建立等式關(guān)系，從而求出直線方程；
②討論直線l的斜率是否存在，不存在時(shí)直接求

PE

•

QE

，存在時(shí)，將直線與圓聯(lián)立方程組，消去y，然后設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將

PE

•

QE

表示出來(lái)，使其與k無(wú)關(guān)即可求出m的值．

解答：解：（1）設(shè)D（x，y），A（a，a），B（b，-b），
∵D是AB的中點(diǎn)，∴x=

a+b

2

，y=

a-b

2

，
∵|AB|=2

3

，∴（a-b）²+（a+b）²=12，
∴（2y）²+（2x）²=12，∴點(diǎn)D的軌跡C的方程為x²+y²=3．
（2）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，P（1，

2

），Q（1，-

2

），此時(shí)|PQ|=2

2

，不符合題意；
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為

3

2

，
由

|-k|

k2+1

=

3

2

，解得k=±

3

．故直線l的方程為y=±

3

（x-1）．
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），
由消去y得（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則由韋達(dá)定理得x₁+x₂=

2k2

k2+1

，x₁x₂=

k2-3

k2+1

，
則

PE

=（m-x₁，-y₁），

QE

=（m-x₂，-y₂），
∴

PE

•

QE

=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m²-

2mk2

k2+1

+

k2-3

k2+1

+k² （

k2-3

k2+1

-

2k2

k2+1

+1）=

(m2-2m-1)k2+m2-3

k2+1

要使上式為定值須

m2-2m-1

m2-3

=1，解得m=1，∴

PE

•

QE

為定值-2，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P（1，

2

），Q（1，-

2

），
由E（1，0）可得

PE

=（0，-

2

），

QE

=（0，

2

），
∴

PE

•

QE

=-2，
綜上所述當(dāng)E（1，0）時(shí)，

PE

•

QE

為定值-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及軌跡問題和直線和圓的方程的應(yīng)用，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力，屬于中檔題．